Оптические расчёты

Оптические расчёты

Введение

Оптические расчёты представляют собой разновидность математических расчётов, проводимых в области Оптики - науки об излучении и его взаимодействии с веществом.

С точки зрения концепция оптики, как научной дисциплины, оптика эволюционировала от Геометрической или Лучевой оптики (нем. Strahlenoptik), основы которой были заложены ещё в Древнем мире Героном Александрийским и другими философами, развиты в трудах Тихо де Браге(1546 – 1601), затем дополнены представлениями Волновой оптики (Wellenoptik), начавшейся с догадки Христиана Гюйгенса (1629-1695) о волновой природе света, подтверждённой экспериментами Томаса Юнга (1829-1883) и Августина Френеля (1788-1827) и получившей завершение в теории Джеймса Кларка Максвелла(1831– 1879), основанной на представлении о свете как волновом процессе, имеющем место в электромагнитном поле. В рамках этих представлений Альберт Эйнштейн(1879-1955) создал специальную теорию относительности, основанную на утверждении о существовании конечной скорости распространения электромагнитных волн. Наконец, невозможность объяснения закономерностей температурного излучения и фотоэффекта в рамках теории Максвелла , привела Макса Планка(1858-1947) к идее квантования поля, что привело появлению оптики фотонов, и реанимировало догадку Исаака Ньютона (1643 -1727) о том, что свет представляет собой поток частиц.

Наши знания о природе формируются на базе понятий, получаемых в результате опыта. Так получилось, что на своём опыте человек усвоил представления о волне и частице,но для получения представления об излучении, или, что будет рассматриваться как его синоним -о свете, который есть ни то, ни другое, в своей практической деятельности он не имеет однозначного представления. Так возник дуализм "волна-частица", констатирующий и закрепившей на день сегодняшний отсутствие единого описания всех наблюдаемых свойств света.Этот дуализм стал причиной построения различных моделей, описывающих свойства света, помогающих не только проведению качественного , но и количественного анализа световых явлений, а самое главное - подтверждающихся в рамках своей применимости, на практике.В оптике, пожалуй даже чаще, чем в остальных разделах физики, придумано множество весьма остроумных моделей, объясняющих то или иное свойство света, но не всех сразу.Виртуозом в этой области был Роберт Вуд. Он и многие не упомянутые здесь учёные, внёсшие свой вклад в развитие оптики и её применение в практике (Прикладная оптика) использовали более или менее удачные математических и описательные модели ad hoc, как и любые модели имевших определённые границы, в которых они применимы.Классическим образцом популярной описательной модели является планетарная модедь атома Резерфорда.

Поэтому для достижения успеха в проведении оптических расчётов недостаточно знать те или иные принятые в оптике закономерности, но и иметь представление о тех границах, за пределами которых они теряют свою справедливость.Иными словами подняться с уровня знания на уровень понимания.

Начала волновой оптики

Возникший дуализм в представлениях о поле излучения не отменил возможности объяснения многих оптических явлений путём решения уравнений Максвелла с учётом конкретных граничных условий. Корпускулярная теория света достаточно хорошо объясняет квантовые свойства света (фотоэффект), но не годится для объяснения траектории светового луча, что является основной задачей, решаемой в геометрической оптике. В этом случае неизбежно обращение к закономерностям волновой оптики, рассматривающей распространение световой волны и влияние на него оптической неоднородности среды, обусловленной различной скоростью распространения излучения в различных ее областях, вызванных различиями показателя преломления.

Показателем преломления среды $n$, в которой распространяется излучение, называется отношение скорости света в вакууме $c$ к скорости света в данной среде $v$, а именно: $n=c/v$. Поскольку скорость света представляет собой наивысшую скорость, достигаемую в природе, то показатель преломления любого вещества всегда больше единицы.

Явление замедления света при его распространении в среде непосредственно вытекает из уравнений Максвелла учитывающих свойства среды при распространении электромагнитной волны через диэлектрическую постоянную среды $\varepsilon$и магнитную проницаемость $\mu$, как:$n={\sqrt[{2}]{\varepsilon \mu }}$ . Волновые свойства света в матричной оптике, равно как и вообще в расчётах в геометрической оптике, учитываются неявным образом, через зависимость показателя преломления от длины волны $n(\lambda )$ , а точнее - от частоты $n(\nu )$ , связанных между собой соотношением:$c=\lambda \nu$. Существенно, что длина волны зависит от показателя преломления среды, а частота не зависит. По крайней мере, до тех пор, пока интенсивность света не станет настолько высокой, что начнут сказываться нелинейные эффекты. Многие оптические среды (но не все) не обладают магнитными свойствами, Для них $\mu \approx 1$ и потому $n\approx {\sqrt[{2}]{\varepsilon }}$ . Показатель преломления воздуха близок к единице и потому в геометрической оптике по умолчанию считается, что показатель преломления среды, в которой находятся элементы оптической схемы, равен единице. Это неверно в общем случае, например при расположении части или всей оптической системы в среде с $n>1$ (так называемая иммерсия). Однако это в случае однородной (изотропной) оптической среды легко может быть учтено при расчётах в рамках геометрической оптики

Геометрическая оптика

В основе положений геометрической оптики лежит понятие о световом луче (луче света), который может быть представлен в виде световой трубки бесконечно малого сечения, т.е. о трехмерной фигуре, в границах которой распространяется энергия излучения, не выходя за ее боковую поверхность и не проникая через нее извне. Световой луч может быть представлен, также, в виде пучка траекторий световых частиц (фотонов) также имеющего бесконечно малое сечение. .

В неоднородной оптической среде, с непостоянным в пространстве и времени распределением показателя преломления или неравномерной оптической плотностью наблюдается искривление луча. Так в неоднородной атмосфере это проявляется в таких явлениях, как мираж, дрожание изображения вследствие атмосферной турбулентности, (что имеет особое значение для оценки качества астроклимата местности) и рассматривается в атмосферной оптике. В рамках волновой оптики и в большом количестве практически интересных случаев направление светового луча совпадает с нормалью к поверхности волнового фронта, т.е. поверхности, проведённой через точки пространства, в которых фазы колебаний электрического вектора совпадают. Однако в случае особых свойств среды, объясняемых явлением дихроизма, нормаль к волновому фронту не совпадает с направлением переноса энергии, т. е направлением светового луча. Это явление изучается в кристаллооптике.

В большинстве задач прикладной оптики оптические приборы представляют собой совокупность последовательно расположенных оптических элементов с неизменным показателем преломления, который лишь меняется скачком на границе их оптических (т.е. рабочих) поверхностей. Световой луч, в таком случае, представляет собой ломаную линию, состоящую из отрезков прямых. Как правило, несмотря на требуемое по конструктивным соображением весьма сложное расположение оптических элементов в пространстве, оказывается возможным, путём использования приёма геометрической развёртки, выделить некоторое генеральное направление в виде прямой линии, называемой оптической осью прибора на его схематическом изображении (оптической схеме). Если, как это часто бывает, в оптической схеме прибора применены оптические элементы, представляющие собой тела вращения (линзы, вогнутые или выпуклые зеркала), оптическая ось совпадает с прямой, проходящей через центры кривизны поверхностей оптических элементов (если по конструктивным причинам не использовано или же против желания произошло децентрирование этих элементов).

В геометрической оптике предполагается, что граница между оптическими элементами представляет собой гладкую поверхность, которую можно описать функцией, не имеющих разрывов или же, по крайней мере, поверхностью, неровности которой расположены регулярным образом. Поверхности шероховатые, т.е. имеющие хаотическое распределение неровностей, приводящее к возникновению рассеяния света, при расчёте хода луча в МО не рассматриваются. Представление о шероховатости весьма относительно, поскольку по мере уменьшения длины волны падающего на поверхность света рассеяние становится всё более заметным. При больших углах падения пучка света на шероховатую (диффузно отражающую) поверхность зеркальная составляющая отраженного света возрастает по интенсивности. Форма оптической поверхности в районе точки падения луча может быть представлена участком сферы с радиусом (в общем случае разным в разных точках и равным бесконечности для плоской поверхности), с направлением которого совпадает нормаль к поверхности в заданной её точке

При падении луча на гладкую границу раздела двух сред с разными показателями преломления и всегда часть света возвращается обратно (явление отражения света) и не всегда проходит во вторую среду (явление преломления света). При рассмотрении единичного луча принято пренебрегать кривизной оптической поверхности и объяснять имеющие при этом изменения направления волнового фронта на основании использования принципа Гюйгенса-Френеля, единым образом описывающего как преломление, так и отражение света, рассматриваемого в виде плоских волн, падающих на плоскую же поверхность. Эта плоскость касается искривлённой поверхности в точке падения луча, а нормаль к ней совпадает по направлению с радиусом кривизны поверхности в этой точке. (рис. ) Поэтому пренебрежение кривизной поверхности при рассмотрении нескольких лучей, падающих на разнесённые в пространстве точки неплоской поверхности на том основании, что кривизна поверхности мала, а точки выбраны близко друг к другу ( что постулируется в МО), всегда приводит к грубым ошибкам.

Еще во Втором веке до Р.Х Герон Александрийский сформулировал принцип, согласно которому свет распространяется по кратчайшему пути между двумя пунктами. В оптически однородной среде таким путём с очевидностью является прямая линия. Так сложилось представление о законе отражения света: «Угол отражения равен углу падения». В 17 веке французский математик Пьер Ферма (1601/1608 – 1665) обобщил постулат Герона на случай преломления, что привело к формулировке принципа, названного его именем: «Фактическая траектория светового луча, распространяющегося между двумя точками такова, что она представляет собой кратчайший путь изо всех мыслимых путей». В оптике это значит, что время t распространения света по фактически избранному им пути является наименьшим. На основании положений вариационного исчисления принцип Ферма формулируется так:

t = (1 )

Здесь есть показатель преломления, зависящий от положения точки на траектории. В такой формулировке нет необходимости в предположении об однородности среды, и потому принцип Ферма применим и для неоднородных сред.

Имеющие при рассмотрении пути луча, падающего на границу двух сред, геометрические соотношения могут быть представлены обобщающей формулой:

           ,  ( 1) 

где нижний индекс принимает значения 1 или 2 в зависимости от того, в какой среде распространяется луч, а верхний – говорит о его принадлежности к преобразованному лучу. Направление луча задаётся углами, отсчитываемыми от нормали в точке падения в одну сторону, т. е по часовой стрелке (положительный угол) - или против часовой стрелки. (угол отрицательный). При этом как отражённый, так и преломлённыё лучи лежат в плоскости падения, проходящей через падающий луч и нормаль к поверхности в точке встречи луча с поверхностью. Для кривых оптических поверхностей эта плоскость не всегда совпадает с меридиональной плоскостью оптической системы, проходящей через её оптическую ось и точку падения луча. Возникающие при этом проблемы рассматриваются в разделе геометрической оптики, относящемся к расчёту аберраций, что выходит за рамки применения МО.

Для преломлённого луча обобщённая формула принимает вид: Это – выражение для закона преломления, для обычно рассматриваемого случая падения света из среды менее оптически плотной в более оптически плотную, т.е. при > записываемого в форме:

Или: отношение синуса угла падения луча к синусу угла его преломления  равно относительному показателю преломления второй среды по отношению к первой. Это – закон преломления Снеллиуса, установленный эмпирическим путём. Если же первой средой является воздух, то  , т.е отношение синусов этих углов может быть принято равным показателю преломления среды, измеряемый, как правило, в воздухе.

Существенно, что в рассматриваемом на рисунке случае > при достаточно большом угле падения угол преломления станет равным π /2. В этом случае луч света не войдёт в преломляющую среду и наступит явление полного внутреннего отражения, при котором все лучи, падающие под бо́льшими углами будут лишь отражаться от поверхности раздела сред, не заходя во вторую. Точнее проникновение света всё же имеет место, но на расстояние порядка длины волны. Если следующий оптический элемент будет разделён зазором, меньшим этого расстояния, наступает нарушение полного внутреннего отражения, что используется для модуляции света. Важно, что при полном внутреннем отражении никаких потерь света на отражения не будет. На этом основана волоконная оптика Для отраженного луча: В соответствии с принятым соглашением о знаках обобщенная формула при этом принимает вид:

   . 

В этом заключается экспериментально установленный закон отражения луча. Поскольку отражённый луч распространяется в той же среде, что и падающий, и в обобщённой формуле левая часть равенства в рассматриваемо случае положительна, то принятое правило знаков заставляет считать, что формально введённый показатель преломления = - . И потому отражающая поверхность ведёт себя так же, как и преломляющая с относительным показателем преломления, равным -1 при любом значении своего показателя преломления.

Полезным приёмом, используемым при рассмотрении оптических систем, в которых происходит излом направления светового луча за счёт его отражения, является оптическая развёртка. На рис. показан процесс развёртки хода луча в 900 призме. В результате призма оказывается заменённой эквивалентной плоско-параллельной пластинкой с толщиной, равной удвоенной высоте этой призмы. Длина пути луча в этой призме не зависит от места падения луча на её рабочую поверхность. Не каждая призма обладает таким свойством. Все призмы, оптическая развёртка которых не является плоской пластинкой, приводят к проявлению явления дисперсии немонохроматичного пучка света. Если призма рассматриваемого типа находится в воздухе, а показатель преломления материала, из которого она сделана ( оптическое стекло легкий крон с n=1,5), то левая часть выражения (1) равна 1,5 > 1 и потому луч, падающий на рабочую поверхность такой призмы , проходя в ней, дважды испытывает полное внутреннее отражение.

Матричная оптика

Матричная оптика (в дальнейшем МО) представляет собой раздел вычислительной (геометрической) оптики, посвященный синтезу оптических систем, состоящих из отдельных и самостоятельных оптических элементов, свойства которых могут быть представлены соответствующими матрицами. В МО рассматриваются оптические схемы, состоящие из центрированных оптических элементов, как в своей совокупности, так и по-отдельности выполняющие роль операторов, преобразующих первоначальный угол , составляемый световым лучом с оптической осью, и проходящего через точку , отстоящую от оси на расстояние и удалённую от рабочей оптической поверхности на расстояние ( ), поскольку эта точка находится до этой поверхности. Начальный угол преобразуется в угол , характеризующий преобразованный луч, проходящий через сопряжённую точку на расстоянии от оси и удалённую по ходу луча на расстояние уже после поверхности (в случае преломления) и (в случае отражения ). Существенно, что расстояния вдоль оси входят как параметры, устанавливаемые расчётчиком, равно как и параметры начального луча. В то же время и получаются расчётным путём и заранее не известны. Направление луча слева направо, высота точки, отсчитываемая от оптической оси вверх и направление отсчёта угла от оси против часовой стрелки представителями ряда вычислительных школ считаются положительными и отрицательными в случае противоположном (рис. ).

В матричной оптике рассматривается ситуация, называемая параксиальным приближением, в котором углы, определяющие направление луча в любом месте системы настолько малы, что допустима замена их тригонометрических функций и tg значениями этих углов в радианной форме. В таком случае становится возможным пренебречь кривизной поверхности оптических элементов и рассматривать оптическую схему, как состоящую из участков, ограниченных поверхностями, перпендикулярными оптической оси, расстояние между которыми равно продольной протяжённости d соответствующего элемента, исчисляемой по оси. Такое приближение носит название параксиального, поскольку обеспечивает малость удаления h луча от оси, а геометрическая оптика – параксиальной или гауссовой оптики.

Для каждого оптического элемента оператор преобразования луча изображается квадратной матрицей размерности 2 х 2: M = . Для следующих друг за другом оптических элементов результирующая матрица изображается произведением матриц: M = M 2 M 1, или же: M = = Для системы из компонент результирующая матрица будет представлять собой матричное произведение: M = , где оцифровка компонент идет по ходу луча (слева – направо), а умножение - по ходу нарастания порядкового числа компонента (справа – налево). В МО исходный луч определяется матрицей или же, что то же самое, матрицей-столбцом: , а оператор, преобразующий эти параметры будет действовать так:

=    , что является матричной формы записи системы из двух линейных уравнений:
   и      

Так, например, для тривиального случая распространения луча в однородной среде на расстояние матрица будет иметь вид: M = Тогда и Преимущество матричного подхода перед традиционно принятым методом скрупулёзного расчёта изменения направления луча на каждой оптической поверхности заключается в существенном упрощении процесса конструирования оптимальной оптической схемы путём быстрого выбора возможных вариантов на начальной его стадии. Ограничения применения обусловлены свойственной параксиальному приближению трудностями с проведением аберрационного расчёта системы с учётом свойств реально выбранных ее элементов.

Литература

• Ландсберг Оптика
• Чуриловский. Теория оптических приборов
• Слюсарев О возможном и невозможном в оптике
• D.Kühlke Optik. Grundlagen und Anwendungen. Verlag Harri Deutsch GmbH, Frankfurt am Main, 2004 ISBN 3-8171-1741-8